增減項因式分解法

佇 Youtube 个 "360 KNOWLEDGE WORLD" 看著即題个因式分解，是用「增減項」个技巧來鬥出會使先佇局部進行因式分解个「場面」, 即種解題法加減著靠靈感佮試誤：

\begin{equation} \begin{aligned} & \kern+0.4em \kern+0.4em \thinspace x^{7} +x^{5} +1\\ & =x^{7} +x^{6} +x^{5} -x^{6} +1\\ & =x^{5}\left( x^{2} +x+1\right) -\left( x^{6} -1\right)\\ & =x^{5}\left( x^{2} +x+1\right) -\left( x^{3} +1\right)\left( x^{3} -1\right)\\ & =x^{5}\left( x^{2} +x+1\right) -\left( x^{3} +1\right)( x-1)\left( x^{2} +x+1\right)\\ & =\left( x^{2} +x+1\right)\left[ x^{5} -\left( x^{3} +1\right)( x-1)\right]\\ & =\left( x^{2} +x+1\right)\left[ x^{5} -\left( x^{4} -x^{3} +x-1\right)\right]\\ & =\left( x^{2} +x+1\right)\left( x^{5} -x^{4} +x^{3} -x+1\right) \end{aligned} \end{equation}

伊另外有一題是 $\displaystyle x^{7} +x^{2} +1$，我想著會使利用類似伊頂面个技巧，不過略仔較複雜，因為愛增兩項、減兩項：

\begin{equation*} \begin{aligned} & \kern+0.4em \kern+0.4em \thinspace x^{7} +x^{2} +1\\ & =x^{7} +x^{6} +x^{5} -x^{5} +x^{2} -x^{6} +1\\ & =x^{5}\left( x^{2} +x+1\right) -x^{2}\left( x^{3} -1\right) -\left( x^{6} -1\right)\\ & =x^{5}\left( x^{2} +x+1\right) -x^{2}( x-1)\left( x^{2} +x+1\right) -\left( x^{3} +1\right)( x-1)\left( x^{2} +x+1\right)\\ & =\left( x^{2} +x+1\right)\left( x^{5} -x^{3} +x^{2} -x^{4} +x^{3} -x+1\right)\\ & =\left( x^{2} +x+1\right)\left( x^{5} -x^{4} +x^{2} -x+1\right) \end{aligned} \end{equation*}

我做出來了後去對照伊个解法，發現伊拄開始是增一項、減一項：

\begin{equation*} \begin{aligned} & \kern+0.4em \kern+0.4em \thinspace x^{7} +x^{2} +1\\ & =x^{7} -x^{4} +x^{4} +x^{2} +1\\ & =x^{4}\left( x^{3} -1\right) +\left( x^{4} +x^{2} +1\right)\\ & =x^{4}\left( x^{3} -1\right) +\left( x^{4} +2x^{2} +1-x^{2}\right)\\ & =x^{4}\left( x^{3} -1\right) +\left[\left( x^{2} +1\right)^{2} -x^{2}\right]\\ & =x^{4}( x-1)\left( x^{2} +x+1\right) +\left( x^{2} +x+1\right)\left( x^{2} -x+1\right)\\ & =\left( x^{2} +x+1\right)\left( x^{5} -x^{4} +x^{2} -x+1\right) \end{aligned} \end{equation*}

伊閣有一題，是佇上頭前迄條 $\displaystyle x^{7} +x^{5} +1=\left( x^{2} +x+1\right)\left( x^{5} -x^{4} +x^{3} -x+1\right)$ 个基礎頂面閣發揮：

\begin{equation*} \begin{aligned} & \kern+0.4em \kern+0.4em \thinspace x^{10} +x^{5} +1\\ & =x^{10} -x^{7} +x^{7} +x^{5} +1\\ & =x^{7}\left( x^{3} -1\right) +\left( x^{7} +x^{5} +1\right)\\ & =x^{7}( x-1)\left( x^{2} +x+1\right) +\left( x^{2} +x+1\right)\left( x^{5} -x^{4} +x^{3} -x+1\right)\\ & =\left( x^{2} +x+1\right)\left( x^{8} -x^{7} +x^{5} -x^{4} +x^{3} -x+1\right) \end{aligned} \end{equation*}

三角形全等定理个證明

楊維哲教授《基礎平面幾何》關係三角形「合同」三定理（「合同」意思也就是阮當年所學著个「全等」，楊教授佮意用「合同」个講法，較倚英文 congruence，可能也較倚希臘原文？），楊教授並無好好仔證明，干焦用「註」簡單講：

雖然合同的定義要求：角度與長度的總共 6 個，都必須對應相等，但是由我們的作圖法，就知道有三個合同原理！此即 sas，asa，sss。（p.58 ff.）

講了伊就直接將即三條列做免證自明个原理矣。

我無啥認同按呢个處理法，應該著照起工來證明才好，無應該按呢就準過。我感覺 SAS 是三合同原理當中上蓋根本个，用「相疊[sio-tha̍h]作圖法」（以下簡稱「疊圖法」）會使得「說明」予儂「接受」（可能無一定會使「證明」予儂「相信」），了後 ASA 佮 SSS 攏著有一个較完整个證明才著。看 Euclid《幾何原本》，真歡喜發現聖人就是按呢做！

幾何原本 Book I, Proposition 4（以下簡稱法是 I.P.4）就是用疊圖法證明 SAS。

I.P.5 是咧證「等腰三角形个兩底角平大」，I.P.6 是逆命題「兩底角平大个三角形就是等腰三角形」。

I.P.7 是《原本》冊--裡真奇妙个基本定理，較僫得用文字說明，是咧證明「等長底邊無可能做出兩組兩邊各自平長个交線」。

I.P.8 就是證明 SSS，證明過程 Euclid 用著疊圖法佮頂段所講个 I.P.7。I.P.7 閣用著 I.P.5。I.P.5 閣用著 I.P.4 SAS 定理。

到甲 I.P.26 才出現 ASA/AAS 定理，證明過程也是建立佇 I.P.4 SAS 頂頭。

通講 SAS 是三角形合同定理个地基，按呢建立起來个幾何智識系統毋才有一个範[pān]！

吳秉翰、吳作樂兩先生《什麼是數學？》p.213「全等性質為什麼全等」小節第一段寫：

從希臘時期到現在都是用做圖技巧再剪下，並驗證是否重疊，若重疊即被認定是全等的性質，也就是用真實世界的物理方法來驗證數學。但對作者來說除了 SSS 全等性質外，其他性質相當的不直覺。

但是我所看著个幾何原本英文譯本所寫，三角形合同定理當中，除了 SAS 勉強會使得講是「用真實世界的物理方法來驗證數學」，其他个並毋是按呢。事實上，SAS 个證明過程用著抽象理性，會使完全佇頭腦內進行，佮物質、物理實驗層次無仝。

$\displaystyle \mathbf{SAS}$三角形全等定理： \begin{gather*} \triangle ABC佮\triangle DEF,\ | \overline{AB}| =| \overline{DE}| ,\ | \overline{AC}| =| \overline{DF}| ,\ | \angle A| =| \angle D| ,\\ 則\triangle ABC\cong \triangle DEF. \end{gather*}

《幾何原本》英譯本 I.P.4 證明 SAS 按呢寫：

If the triangle ABC is superposed on the triangle DEF, and if the point A is placed on the point D and the straight line AB on DE, then the point B also coincides with E, because AB equals DE.

Again, AB coinciding with DE, the straight line AC also coincides with DF, because the angle BAC equals the angle EDF. Hence the point C also coincides with the point F, because AC again equals DF.

But B also coincides with E, hence the base BC coincides with the base EF and equals it.

Thus the whole triangle ABC coincides with the whole triangle DEF and equals it.

And the remaining angles also coincide with the remaining angles and equal them, the angle ABC equals the angle DEF, and the angle ACB equals the angle DFE.

以上个證明論述，有一个重要精神，就是相信「徛佇仝一个起點，轉仝款角度（向仝款方向）、行仝款距離，結局就會行到仝一終點」。這也是後世數學「極座標」系統靠角度佮距離兩个參數來定位座標，上蓋基本个假定，也是生活中不時拄會著个經驗。

《什麼是數學？》p.214閣有講：

作者本身教學經驗，學生對於五個全等性質並不能完全認同，大多數人僅能接受 SSS 全等。而其他的在直覺上是完全無法接受的，而重疊的方法又使人認為不夠嚴謹，如果在不能完全認同的情況下，後續的練習幾何證明僅僅是建立在空中的樓閣，學生只是學會書寫兩三角形為什麼全等的證明流程，並不明白為什麼該性質全等？

作者个解決方法是：將 SSS 直接定義做公設，其他个全等定理才用即个公設去推衍[tshui-ián]。

這是佇歐氏幾何五大公設下底，閣生出一條公設，我感覺真心適，因為我佮幾何原本拄好有相通，感覺 SAS 較基本，也較直覺，但是吳老師佮怹多數學生煞認為 SSS 較直覺，不證自明。我真好奇：是按怎兩个三角形三條相應線平長，咱就會使放心相信三个相應角也攏會仝款咧？欲按怎直覺、相信講袂出現別種角度个組合咧？這咁無需要進一步說明甚至是證明？

欲增加一个公設，我寧可採用我頭前所講个：「徛佇仝一个起點，向仝款方向、行仝款距離，結局就會行到仝一終點」。

利用三角函數定理求角度

佇 Youtube 看著即條求角度$\displaystyle \angle ACD$个題目：

以下是我家己想出來个解答。拄開始我解題个思路是：兩个三角形$\displaystyle \triangle CAD$佮$\displaystyle \triangle CDB$底邊平長而且公家頂點$\displaystyle C$，咱聽好利用怹兩个面積相仝即點落去算。後來發現免得確著按呢。總是，一定愛畫兩條輔助線，做出直角三角形，才方便使用三角函數个定理來求算角度。

三角形一个外角等於另外兩个內角个和：
$\displaystyle \angle ADC=45° =\angle DCB+\angle CBD=15° +\angle CBD\Longrightarrow \angle CBD=30° $

畫輔助線$\displaystyle \overline{AE} ,\overline{CE}$使$\displaystyle \overline{AE} \perp \overline{CE}$，按呢直角$\displaystyle \triangle CED$中，$\displaystyle \angle EDC=45° \Longrightarrow \angle ECD=45° \Longrightarrow \overline{CE} =\overline{ED}$。

令$\displaystyle \overline{CE} =1$（本題干焦講$\displaystyle \overline{AD} =\overline{DB}$，無講任何一邊个具體長度，咱欲求角度，角度佮邊長比例有關係，佮任何一邊个具體長度無關係，所以會使按呢設。）

\begin{array}{l} \Longrightarrow \overline{ED} =1\Longrightarrow 直角\triangle CED斜邊\overline{CD} =\sqrt{2}.\\ 直角\triangle CEB斜邊\overline{CB} =2，\overline{EB} =\sqrt{3}.\\ \overline{DB} =\overline{EB} -\overline{ED} =\sqrt{3} -1=\overline{AD}.\\ \overline{EA} =\sqrt{3} -(\overline{DB} +\overline{AD}) =\sqrt{3} -2\left(\sqrt{3} -1\right) =2-\sqrt{3} . \end{array}

以下个計算，有用著畢氏定理佮三角函數个三角形面積公式。

\begin{gather*} \overline{CA}^{2} =\overline{CE}^{2} +\overline{EA}^{2} =1^{2} +\left( 2-\sqrt{3}\right)^{2} =8-2\sqrt{12} =\left(\sqrt{6} -\sqrt{2}\right)^{2}\\ \Longrightarrow \overline{CA} =\sqrt{6} -\sqrt{2} . \end{gather*}

\begin{equation} | \triangle CAD| =\frac{1}{2} 底\times 高=\frac{1}{2}\overline{AD} \times \overline{CE} =\frac{1}{2} \times \left(\sqrt{3} -1\right) \times 1=\frac{\sqrt{3} -1}{2} . \end{equation} 令所求角$\displaystyle \angle ACD=\theta $，改用三角函數公式來算三角形面積： \begin{gather} | \triangle CAD| =\frac{1}{2}\overline{CA} \times \overline{CD} \times \sin \theta \notag\\ =\frac{1}{2} \times \left(\sqrt{6} -\sqrt{2}\right) \times \sqrt{2}\sin \theta =\left(\sqrt{3} -1\right)\sin \theta . \end{gather} \begin{gather*} \Longrightarrow \frac{\sqrt{3} -1}{2} =\left(\sqrt{3} -1\right)\sin \theta \\ \sin \theta =\frac{1}{2}\\ \theta =30° ，即所求。 \end{gather*}

三角形三內角平分線交於一點(內心)个證明

三角形三內角平分線交於一點，叫做內心。內心个存在是幾何基本智識，本來無必要ke工閣寫。總是，我寫即篇个目的是欲學練使用 GeoGebra 軟體來畫幾何圖形，畫好了後，存做 SVG 檔，試看 lok入來網頁會媠袂？

圖1：兩條內角平分線交於一點G

圖1$\displaystyle \triangle ABC$ 中，$\displaystyle \angle A$平分線$\displaystyle \overrightarrow{AE}$，$\displaystyle \angle C$平分線$\displaystyle \overrightarrow{CD}$相交於點$\displaystyle G$，咱个目標就是欲證明$\displaystyle \angle B$平分線也拄拄好通過點$\displaystyle G$。

圖2：做三條紅色垂直線

圖2中，對點$\displaystyle G$分別向$\displaystyle \overline{AB} ,\overline{BC} ,\overline{CA}$做輔助證明个垂直線$\displaystyle \overline{GH} ,\overline{GI} ,\overline{GJ}$。看$\displaystyle \triangle CJG$佮$\displaystyle \triangle CIG$，因為有兩組對應角平大（$\displaystyle \angle JCG=\angle ICG\land \angle CJG=\angle CIG=90°$，按呢第三組對應角$\displaystyle \angle CGJ,\ \angle CGI$ 也平大，$\displaystyle \overline{CG}$共邊，兩三角形根據 SAS 定理就全等，$\displaystyle \overline{GJ} =\overline{GI}$。同理，$\displaystyle \overline{GJ} =\overline{GH}$，所以三條垂直線$\displaystyle \overline{GH} =\overline{GI} =\overline{GJ}$。

圖3：藍線是毋是就是第三條內角平分線？

今畫$\displaystyle \overline{BG}$，即條線若拄好平分$\displaystyle \angle ABC$，按呢三條內角平分線有影相交於一點。因為$\displaystyle \triangle GHB$佮$\displaystyle \triangle GIB$攏是直角三角形，$\displaystyle \overline{GH} =\overline{GI}$而且共斜邊$\displaystyle \overline{GB}$，照畢氏定理，第三邊$\displaystyle \overline{HB}$佮$\displaystyle \overline{IB}$定著也平長，兩三角形就是SSS全等，$\displaystyle \angle HBG=\angle IBG$，所以$\displaystyle \overline{BG}$拄好平分$\displaystyle \angle ABC$。三角形三條內角平分線共點，得證。

試驗感想：Blogger 無支援上傳SVG圖檔，干焦會使得直接將SVG源碼貼起來HTML當中，這就是即篇个做法。無，著愛另外揣SVG host來做鏈結。前--者歹編輯，後--者host提供者將來會按怎咱毋知。攏無啥理想，目前少圖个文，先用SVG，一篇內底圖若濟，著考慮用PNG。