利用三角函數定理求角度

佇 Youtube 看著即條求角度$\displaystyle \angle ACD$个題目：

以下是我家己想出來个解答。拄開始我解題个思路是：兩个三角形$\displaystyle \triangle CAD$佮$\displaystyle \triangle CDB$底邊平長而且公家頂點$\displaystyle C$，咱聽好利用怹兩个面積相仝即點落去算。後來發現免得確著按呢。總是，一定愛畫兩條輔助線，做出直角三角形，才方便使用三角函數个定理來求算角度。

三角形一个外角等於另外兩个內角个和：
$\displaystyle \angle ADC=45° =\angle DCB+\angle CBD=15° +\angle CBD\Longrightarrow \angle CBD=30°$

畫輔助線$\displaystyle \overline{AE} ,\overline{CE}$使$\displaystyle \overline{AE} \perp \overline{CE}$，按呢直角$\displaystyle \triangle CED$中，$\displaystyle \angle EDC=45° \Longrightarrow \angle ECD=45° \Longrightarrow \overline{CE} =\overline{ED}$。

令$\displaystyle \overline{CE} =1$（本題干焦講$\displaystyle \overline{AD} =\overline{DB}$，無講任何一邊个具體長度，咱欲求角度，角度佮邊長比例有關係，佮任何一邊个具體長度無關係，所以會使按呢設。）

$$\begin{array}{l} \Longrightarrow \overline{ED} =1\Longrightarrow 直角\triangle CED斜邊\overline{CD} =\sqrt{2}.\\ 直角\triangle CEB斜邊\overline{CB} =2，\overline{EB} =\sqrt{3}.\\ \overline{DB} =\overline{EB} -\overline{ED} =\sqrt{3} -1=\overline{AD}.\\ \overline{EA} =\sqrt{3} -(\overline{DB} +\overline{AD}) =\sqrt{3} -2\left(\sqrt{3} -1\right) =2-\sqrt{3} . \end{array}$$

以下个計算，有用著畢氏定理佮三角函數个三角形面積公式。

$$\begin{gather*} \overline{CA}^{2} =\overline{CE}^{2} +\overline{EA}^{2} =1^{2} +\left( 2-\sqrt{3}\right)^{2} =8-2\sqrt{12} =\left(\sqrt{6} -\sqrt{2}\right)^{2}\\ \Longrightarrow \overline{CA} =\sqrt{6} -\sqrt{2} . \end{gather*}$$

$$\begin{equation} | \triangle CAD| =\frac{1}{2} 底\times 高=\frac{1}{2}\overline{AD} \times \overline{CE} =\frac{1}{2} \times \left(\sqrt{3} -1\right) \times 1=\frac{\sqrt{3} -1}{2} . \end{equation}$$ 令所求角$\displaystyle \angle ACD=\theta$，改用三角函數公式來算三角形面積： $$\begin{gather} | \triangle CAD| =\frac{1}{2}\overline{CA} \times \overline{CD} \times \sin \theta \notag\\ =\frac{1}{2} \times \left(\sqrt{6} -\sqrt{2}\right) \times \sqrt{2}\sin \theta =\left(\sqrt{3} -1\right)\sin \theta . \end{gather}$$ $$\begin{gather*} \Longrightarrow \frac{\sqrt{3} -1}{2} =\left(\sqrt{3} -1\right)\sin \theta \\ \sin \theta =\frac{1}{2}\\ \theta =30° ，即所求。 \end{gather*}$$